题目

（本小题满分12分）
若函数f（x）=在[1，+∞上为增函数．
（Ⅰ）求正实数a的取值范围．
（Ⅱ）若a=1，求征：（n∈N*且n ≥ 2 ）

答案

（Ⅰ）a≥1
（Ⅱ）证明见解析

解析

（Ⅰ）由已知： =
依题意得：≥0对x∈[1，+∞恒成立
∴ax－1≥0对x∈[1，+∞恒成立
∴a－1≥0即：a≥1
（Ⅱ）∵a="1" ∴由（1）知：f（x）=在[1，+∞上为增函数，
∴n≥2时：f（）=
即：
∴
设g（x）=lnx－x  x∈[1，+∞，
则对恒成立，
∴g′（x）在[1+∞为减函数…
∴n≥2时：g（）=ln－<g（1）=－1<0
即：ln<=1+（n≥2）
∴
综上所证：（n∈N*且≥2）成立．