题目

已知函数，满足：①对任意，都有；
②对任意n∈N ^*都有．
（Ⅰ）试证明：为上的单调增函数；
（Ⅱ）求；
（Ⅲ）令，试证明：

答案

解析

解：（I） 由①知，对任意，都有，
由于，从而，所以函数为上的单调增函数
（II）令，则，显然，否则，与矛盾.从而，而由,即得.
又由（I）知，即.
于是得，又，从而，即.
进而由知，.
于是,
,,
,,
,由于,
而且由（I）知，函数为单调增函数，因此.
从而. 
（Ⅲ）,
，.
即数列是以6为首项, 以3为公比的等比数列 .
∴
于是,显然,
另一方面,
从而. 
综上所述, .