题目

已知y＝f(x)满足f(n－1)＝f(n)－lg a^n－1(n≥2，n∈N)且f(1)＝－lg a，是否存在实数α，β，使f(n)＝(αn²＋βn－1)·lg a对任何n∈N^*都成立，证明你的结论

答案

∵f(n)＝f(n－1)＋lg a^n－1，
令n＝2，则f(2)＝f(1)＋lg a＝－lg a＋lg a＝0.
又f(1)＝－lg a，
∴，∴.
∴f(n)＝lg a.
现证明如下：(1)当n＝1时，显然成立．
(2)假设n＝k(k∈N^*，且k≥1)时成立，
即f(k)＝lg a，
则n＝k＋1时，
f(k＋1)＝f(k)＋lg a^k＝f(k)＋klg a
＝lg a
＝lg a.
则当n＝k＋1时，等式成立．
综合(1)(2)可知，存在实数α、β且α＝，β＝－，使
f(n)＝(αn²＋βn－1)lg a对任意n∈N_＋都成立

解析

略