题目

已知函数f（x）=a-

2x

4x+1

（a∈R）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）判断并证明函数f（x）在（0，+∞）上的单调性．

答案

（1）∵函数f（x）=a-

2x

4x+1

（a∈R），定义域为实数集R．
①∵f（-x）-f（x）=a-

2-x

4-x+1

-(a-

2x

4x+1

)=-

2-x×4x

1+4x

+

2x

4x+1

=-

2x

4x+1

+

2x

4x+1

=0，∴f（-x）=f（x）对于任意实数x都成立，∴函数f（x）是偶函数；
②又f（-x）+f（x）=a-

2-x

4-x+1

+a-

2x

4x+1

=2a-

2x

1+4x

×2，此式对于任意的实数x不满足f（-x）+f（x）=0，故此函数不是奇函数．
（2）判断：函数f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数．
证明：任取0＜x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=a-

2x1

4x1+1

-(a-

2x2

4x2+1

)=

(2x1-2x2)(2x1+x2-1)

(4x1+1)(4x2+1)

，
由0＜x₁＜x₂，∴2x1＜2x2，2x1+x2＞1，
∴2x1-2x2＜0，2x1+x2-1＞0，
又4x1+1＞0，4x2+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
所以函数f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数．

解析