（1）设一次函数f（x）满足f（3）=2，f（2

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

（1）设一次函数f（x）满足f（3）=2，f（2）=3，求f（5）的值；
（2）若函数f（x）的定义域为[a，b]，值域为[a，b]（a＜b），则称函数f（x）是[a，b]上的“方正”函数．
①设g(x)=

1
2
x2-x+
3
2
是[a，b]上的“方正”函数，求常数a，b的值．
②问是否存在常数a，b（a＞-2），使函数h(x)=
1
x+2
是区间[a，b]上的“方正”函数？若存在，求出a，b的值；不存在，说明理由．

答案

（1）设f（x）=mx+n（m≠0），又f（3）=2，f（2）=3，
所以3m+n=2，2m+n=3⇒m=-1，n=5
即f（x）=-x+5⇒f（5）=0；…（4分）
（2）①由g(x)=

1
2
(x-1)2+1≥1知g（x）在[a，b]上单调增函数且a≥1，
所以值域为[g（a），g（b）]，
由已知g(x)=
1
2
x2-x+
3
2
是[1，b]上的“方正”函数，所以[g（a），g（b）]=[a，b]
则g（a）=a，g（b）=b，即a，b是方程g（x）=x的两个根（1≤a＜b）
解方程
1
2
x2-x+
3
2
=x得x=1或x=3，所以a=1，b=3…（9分）
②假设存在常数a，b，使函数h(x)=
1
x+2
是区间[a，b]上的“方正”函数．
因a＞-2，显然h(x)=
1
x+2
在区间[a，b]上是单调减函数，值域为[h（b），h（a）]=[a，b]，
即

解析

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