题目

已知函数f(x)=x-

1

x

，x∈（0，+∞）．
（1）用函数单调性的定义证明：f（x）在其定义域上是单调增函数；
（2）若f（3^x-2）＞f（9^x），求x的取值范围．

答案

（1）任取x₁，x₂∈（0，+∞）．令x₁＜x₂
f（x₁）-f（x₂）=x1-

1

x1

-（x2-

1

x2

）=（x₁-x₂）+（

1

x2

-

1

x1

）=（x₁-x₂）×（1+

1

x1x2

）
∵x₁，x₂∈（0，+∞）．x₁＜x₂
∴x₁-x₂＜0，1+

1

x1x2

＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
故f（x）在其定义域上是单调增函数；
（2）由（1）证明知f（x）在其定义域上是单调增函数，又f（3^x-2）＞f（9^x），
∴3^x-2＞9^x，即3^x-2＞3^2x，
∴x-2＞2x，得x＜-2
x的取值范围是x＜-2

解析