题目

已知函数f（x）=

x

1+x2

．
（1）判断其奇偶性；
（2）指出该函数在区间（0，1）上的单调性并证明；
（3）利用（1）、（2）的结论，指出该函数在（-1，0）上的增减性．

答案

（1）函数的定义域为R
∵f(-x)=

-x

1+(-x)2

=-

x

1+x2

=-f(x)
∴f（x）是奇函数；
（2）函数f（x）在（0，1）上是增函数
证明：任取x₁、x₂满足0＜x₁＜x₂＜1则
f（x₁）-f（x₂）=

x1

1+ x 21

-

x2

1+ x 22

=

(x1-x2)(1-x1x2)

(1+ x 21 )(1+ x 22 )

∵0＜x₁＜x₂＜1，
∴x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜1，
∴f（x₁）＜f（x₂）
因此函数f（x）在（0，1）上是递增函数；
（3）由于f（x）是R上的奇函数，在（0，1）上又是递增函数，
因而该函数在（-1，0）上也是增函数．

解析