题目

已知函数f（x）是定义在[-1，0）∪（0，1]上的奇函数，当x∈[-1，0）时，f(x)=ax+

1

x2

．
（1）求函数y=f（x）在（0，1]上的函数解析式；
（2）当a＞-2时，判断函数y=f（x）在（0，1]上的单调性，并给出说明．

答案

（1）任取x∈（0，1]，则-x∈[-1，0），f（-x）=-f（x）（3分）
则f(x)=-f(-x)=ax-

1

x2

． （6分）
（2）函数f（x）在（0，1]上为单调递增函数．
证明：任取x₁，x₂∈（0，1]，x₁＜x₂
f(x2)-f(x1)=ax2-

1

x 22

-ax1+

1

x 22

（2分）
=(x2-x1)(a+

1

x1 x 22

+

1

x 21 x2

)（4分）
由于由于x₁，x₂∈（0，1]，x₁＜x₂，所以x₂-x₁＞0，（5分）

1

x1 x 22

＞1，

1

x2 x 21

＞1，当a＞-2时，a+

1

x1 x 22

+

1

x 21 x2

＞0（7分）
所以所以f（x₂）＞f（x₁），即函数f（x）在（0，1]上为单调递增函数． （8分）
（只有结论，没有过程给2分）

解析