题目

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c和“伪二次函数”g（x）=ax²+bx+clnx（abc≠0）．
（1）证明：只要a＜0，无论b取何值，函数g（x）在定义域内不可能总为增函数；
（2）在同一函数图象上任意取不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB中点为C（x₀，y₀），记直线AB的斜率为k，
①对于二次函数f（x）=ax²+bx+c，求证：k=f′（x₀）；
②对于“伪二次函数”g（x）=ax²+bx+clnx，是否有①同样的性质？证明你的结论．

答案

（1）如果x＞0，g（x）为增函数，则
g′（x）=2ax+b+

c

x

=

2ax2+bx+c

x

＞0(i)恒成立．
∴2ax²+bx+c＞0（ii）恒成立
∵a＜0，由二次函数的性质，（ii）不可能恒成立
则函数g（x）不可能总为增函数．
（2）①对于二次函数：
k=

f(x2)-f(x1)

x2- x1

=

a(x22-x12)+b(x2-x1)

x2-x1

=2ax₀+b
由f′（x）=2ax+b故f′（x₀）=2ax₀+b
即k=f′（x₀）
（2）②
不妨设x₂＞x₁，对于伪二次函数g（x）=ax²+bx+clnx=f（x）+clnx-c，
k=

g(x2)-g(x1)

x2-x1

=

f(x2)-f(x1)+cln x2 x1

x2-x1

如果有①的性质，则g′（x₀）=k
∴

cln x2 x1

x2-x1

=

c

x0

，c≠0
即∴

ln x2 x1

x2-x1

=

2

x1+x2

，
令t=

x2

x1

，t＞1，则

lnt

t-1

=

2

t+1

设s（t）=lnt-

2t-2

t+1

，则s′(t)=

1

t

-

2(t+1)-2(t-1)

(t+1)2

=

(t-1)2

t(t+1)2

＞0
∴s（t）在（1，+∞）上递增，
∴s（t）＞s（1）=0
∴g′（x₀）≠k∴“伪二次函数“g（x）=ax²+bx+clnx不具有①的性质．

解析