题目

已知函数f(x)=

3x-1

3x+1

．
（1）证明f（x）为奇函数；
（2）判断f（x）的单调性，并用定义加以证明．

答案

（1）证明：函数的定义域为R
∵f（-x）=

3-x-1

3-x+1

=

1-3x

1+3x

=-f（x）
∴f（x）为奇函数
（2）在定义域上是单调增函数；
设x₁＜x₂
∵f(x)=

3x-1

3x+1

=1-

2

3x+1

，
∴f（x₁）-f（x₂）=

2

3x2+1

-

2

3x1+1

=

2(3x1-3x2)

(1+3x1)(1+3x2)

∵x₁＜x₂
∴0＜3x1＜3x2
∴f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）单调递增

解析