已知函数f(x)=a-22x+1，g(x

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

已知函数f(x)=a-

2
2x+1
，g(x)=
1
f(x)-a
．
（1）若函数f（x）为奇函数，求a的值；
（2）若g（2x）-a•g（x）=0，有唯一实数解，求a的取值范围；
（3）若a=2，则是否存在实数m，n（m＜n＜0），使得函数y=f（x）的定义域和值域都为[m，n]．若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．

答案

（1）∵f（x）为奇函数
∴f（-x）=-f（x）∴f（0）=0
∴a=1（2分）
（2）∵g(x)=

1
f(x)-a
=-
2x+1
2
（1分）
∴g(2x)-ag(x)=-
22x+1
2
+a×
2x+1
2
=0（1分）
令t=2x＞0，则问题转化为方程t2-at+1-a=0在（0，+∞）上有唯一解．（1分）
令h（t）=t2-at+1-a，则h（0）≤0
∴a≥1（2分）
（3）法一：不存在实数m、n满足题意．（1分）
f(x)=2-
2
2x+1
∵y=2x在R上是增函数∴f（x）在R上是增函数（2分）
假设存在实数m、n（m＜n＜0）满足题意，有

解析

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