题目

已知b、c是实数，函数f（x）=x²+bx+c对任意α、β∈R有f（sinα）≥0且f（2+cosβ）≤0．
（1）求f（1）的值；
（2）证明：c≥3．

答案

（1）对任意α，β∈R，有-1≤sinα≤1，1≤2+cosβ≤3．
因为f（sinα）≥0且f（2+cosβ）≤0，
所以f（1）≥0且f（1）≤0，
所以，f（1）=0．…（2分）
（2）证明：因为f（1）=0，所以1+b+c=0，即b=-1-c．
因为1≤2+cosβ≤3，f（2+cosβ）≤0，
所以f（3）≤0．
即3²+3b+c≤0，有9+3（-l-c）+c≤0，
所以，c≥3．…（4分）

解析