题目

已知定义在R上的函数f（x）满足：对任意x∈R，都有f（x）=f（2-x）成立，且当x∈（-∞，1）时，（x-1）f′（x）＜0（其中f"（x）为f（x）的导数）．设a=f(0)，b=f(

1

2

)，c=f(3)，则a、b、c三者的大小关系是（　　）

A．a＜b＜c

B．c＜a＜b

C．c＜b＜a

D．b＜c＜a

答案

由题意得：对任意x∈R，都有f（x）=f（2-x）成立，
所以函数的对称轴为x=1，所以f（3）=f（-1）．
因为当x∈（-∞，1）时，（x-1）f′（x）＜0，
所以f′（x）＞0，
所以函数f（x）在（-∞，1）上单调递增．
因为-1＜0＜

1

2

，
所以f（-1）＜f（0）＜f（

1

2

），即f（3）＜f（0）＜f（

1

2

），
所以c＜a＜b．
故选B．

解析