题目

讨论并证明函数f（x）=x+

1

x

在（0，+∞）上的单调性．

答案

证明：设0＜x₁＜x₂，则有f（x₁）-f（x₂）=（x1+

1

x1

）-（x2+

1

x2

）=（x₁-x₂）+（

1

x1

-

1

x2

）=（x₁-x₂）

x1x2-1

x1x2

（1）当0＜x₁＜x₂＜1时，x₁x₂＜1，即，x₁x₂-1＜0，又∵x₁x₂＞0，x₁-x₂＜0，∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），所以函数在（0，+∞）上为减函数．
（2）当1＜x₁＜x₂时，x₁x₂＞1，即，x₁x₂-1＞0，又∵x₁x₂＞0，x₁-x₂＜0，∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），所以函数在（0，+∞）上为增函数．
综上所述，f（x）=x+

1

x

在（0，1）上单调递减，在[1，+∞）上单调递增．

解析