题目

已知函数，
（1）求函数f（x）在定义域上的单调区间；
（2）若关于x的方程f（x）-a=0恰有两个不同的实数解，求实数a的取值范围；
（3）已知实数x₁、x₂∈(0，1]，且x₁+x₂=1，求f（x₁）·f（x₂）的最大值。

答案

解：(1)当x＞2时，是常数，无单调区间；
当时，，
任取，
 
，
当时，；
当时，；
∴函数f（x）的单调递增区间是，单调递减区间是。
（2）由（1）知，f（0）=1，，
方程f（x）-a=0恰有两个不同的实数解，等价于直线y=a与曲线y=f（x）恰有两个不同的交点，
∴。
（3）
，
令，
（当且仅当时取等号），
又，
∴，
令s=t+2，则，
∴，

∴，
即。

解析