题目

在实数范围内解不等式：5^x≥4^x+1．并利用解此题的方法证明：3^x+4^x=5^x有唯一解．

答案

由5^x≥4^x+1得(

4

5

)x+(

1

5

)x≤1，显然f(x)=(

4

5

)x+(

1

5

)x是减函数，又当x=1时，(

4

5

)x+(

1

5

)x=1即f（1）=1；当x＞1时，f(x)=(

4

5

)x+(

1

5

)x＜f(1)=1；不等式的解集为{x|x≤1}．
由方程3^x+4^x=5^x得，(

3

5

)x+(

4

5

)x=1，显然函数g(x)=(

3

5

)x+(

4

5

)x是减函数，又当x=2时，(

3

5

)x+(

4

5

)x=1，当x＜2时，(

3

5

)x+(

4

5

)x＞1，当x＞2时，(

3

5

)x+(

4

5

)x＜1，方程3^x+4^x=5^x有唯一解．

解析