题目

已知偶函数满足：当时，，当时，.
(Ⅰ).求表达式；
(Ⅱ).若直线与函数的图像恰有两个公共点，求实数的取值范围；
(Ⅲ).试讨论当实数满足什么条件时，直线的图像恰有个公共点，且这个公共点均匀分布在直线上.（不要求过程）

答案

(Ⅰ).;(Ⅱ).  (Ⅲ).当时，或
当时， 此时; 当时，，或
当时此时.

解析

试题分析：（1）由为偶函数，则有，又因为当，及，，所以当时，，即可求出 .当时，同理可求出此时的.（2）画出的大致图像，由图1易知，当时，函数与恰有两个交点，所以当时，函数与无交点，易得当时恒成立，当时，则有，即可求出.
当，时，函数的图像如图2所示，此时直线的图像若恰有个公共点，且这个公共点均匀分布在直线上，则易知时符合题意，设时由左到右的两个交点的横坐标分别为，由函数的对称性易知，，此时.其他情况同理即可求出.

图1 图2
试题解析：（1）为偶函数，则有
当时，，即
当时，，即
故有
（2）如下图，当时，由图像易知函数与恰有两个交点
当时，函数与无交点
由，
当时，此时符合题意
当时，由即
可得
由偶函数的对称性可知时，
与时的情况相同
故综上：

（3）当时，或
当时， 此时 
当时，，或
当时此时