题目

已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)不为常值函数，有以下命题：
①函数g(x)=f(x)＋f(－x)一定是偶函数；
②若对任意都有，则f(x)是以2为周期的周期函数；
③若f(x)是奇函数，且对任意x∈R都有f(x)＋f(2＋x)=0，则f(x)的图像的对称轴方程为
x=2n＋1(n∈Z)；
④对任意x₁,x₂∈R且若恒成立，则f(x)为上的增函数.
其中所有正确命题的序号是________________.

答案

①③④

解析

试题分析：①，所以一定是偶函数.
②由得。令可得：，所以f(x)不是以2为周期的周期函数.
③f(x)是奇函数，则…………………………………（1）
由得，即…………………………(2)
由(1)(2)可得：，所以是f(x)的图像的一条对称轴方程.
又由得所以是f(x)的图像的一条对称轴方程.
又由得，所以函数是以4为周期的周期函数.
所以都是的对称轴，即x=2n＋1 (n∈Z)是的对称轴.
④不妨设，则由得即，所以f(x)是上的增函数.