题目

（本小题满分13分）已知函数．
（Ⅰ）判断并证明函数的奇偶性；
（Ⅱ）判断函数在上的单调性并加以证明．

答案

解（Ⅰ）是偶函数．见解析；（Ⅱ）是单调递增函数．见解析。

解析

本试题主要是考查了函数的奇偶性和函数的单调性的运用。
（1）因为定义域为实数集，且，那么可知函数为偶函数。
（2）利用定义法，作差变形定号， 下结论可知函数在给定区间上是增函数。
解（Ⅰ）是偶函数． …………………………………………………………………2分
定义域是R，
∵
∴ 函数是偶函数． ……………………………………………………………6分
（直接证明得正确结论给6分）
（Ⅱ）是单调递增函数． ……………………………………………………………8分
当时，
设，则，且，即
∵
………………………………………12分
∴ 
所以函数在上是单调递增函数．………………………13分