题目

（满分16分）已知函数，其中是自然对数的底数.
（1）证明：是上的偶函数；
（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
（3）已知正数满足：存在，使得成立，试比较与的大小，并证明你的结论.

答案

（1）证明见解析；（2）；（3）当时，，当时，，当时，．

解析

试题分析：
试题解析：（1）证明：函数定义域为，∵，∴是偶函数．
（2）由得，由于当时，，因此，即，所以，令，设，则，，∵，∴（时等号成立），即，，所以．
（3）由题意，不等式在上有解，由得，记，，显然，当时，（因为），故函数在上增函数，，于是在上有解，等价于，即．考察函数，，当时，，当时，，当时，即在上是增函数，在上是减函数，又，，，所以当时，，即，，当时，，，即，，因此当时，，当时，，当时，．
【考点】（1）偶函数的判断；（2）不等式恒成立问题与函数的交汇；（3）导数与函数的单调性，比较大小．