题目

已知定义域为R的函数f(x)为奇函数，且满足f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝2^x－1.
(1)求f(x)在[－1,0)上的解析式；
(2)求f(24)的值．

答案

（1）f(x)＝－()^x＋1
（2）－

解析

解：(1)令x∈[－1,0)，则－x∈(0,1]，
∴f(－x)＝2^－x－1.
又∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．
∴－f(x)＝f(－x)＝2^－x－1.
∴f(x)＝－()^x＋1.
(2)∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．
∴f(x)是以4为周期的周期函数．
∵24＝－log₂24∈(－5，－4)，
∴24＋4∈(－1,0)．
∴f(24)＝f24＋4)＝－()^24＋4＋1＝－24×＋1＝－.