题目

已知为偶函数，曲线过点， ．
（1）若曲线有斜率为0的切线，求实数的取值范围；
（2）若当时函数取得极值，确定的单调区间．

答案

（1） ；（2）和为的单调递增区间，为的单调递增区间．

解析

试题分析：（1）先根据为偶函数，得到，恒有，进而计算出（也可根据二次函数的图像与性质得到对称轴，该对称轴为轴，进而得出），然后将点代入求出，进而写出的表达式，此时，根据条件有斜率为0的切线即有实数解，根据二次方程有解的条件可得，求解出的取值范围即可；（2）先根据时函数取得极值，得到，进而求出，然后确定导函数，由导数可求出函数的单调增区间，由可求出函数的单调减区间．
（1） 为偶函数，故对，总有，易得
又曲线过点，得，得，  3分

曲线有斜率为0的切线，故有实数解
此时有，解得  5分
（2）因时函数取得极值，故有，解得 
又，令，得．
当时， 在上为增函数
当时，，在上为减函数
当时，，在上为增函数
从而和为的单调递增区间，为的单调递增区间  10分．