题目

（14分）已知定义在上的函数满足：
，且对于任意实数，总有成立．
（1）求的值，并证明函数为偶函数；
（2）若数列满足，求证：数列为等比数列；
（3）若对于任意非零实数，总有．设有理数满足，判断和 的大小关系，并证明你的结论．

答案

（1），函数为偶函数
（2）略
（3）略

解析

（1）令，，又，．…2分
令，，即．
对任意的实数总成立， 为偶函数． 4分
（2）令，得 ，，．
．…………………………………………………………5分
令，得，………………………………………………………………6分
 ………………………………………………8分
是以为首项，以为公比的等比数列．
（3）结论：．………………………………………………………………9分
证明：设，∵时，，
∴，即．……………………………………………………10分
∴令（），故，总有成立．
∴．………………………………………………………………………………………………11分
∴对于，总有成立．
即
当时，
在上单调递增。………………………………………………………………12分
当…………………………………………………………13分
函数为偶函数，∴．∴．……14分