题目

设函数f(x)的定义域关于原点对称且满足:
(i)f(x₁－x₂)=；
(ii)存在正常数a使f(a)=1 求证:
(1)f(x)是奇函数.
(2)f(x)是周期函数，且有一个周期是4.

答案

证明略

解析

(1）不妨令x=x₁－x₂,
则f(－x)=f(x₂－x₁)= 
=－f(x₁－x₂)=－f(x)
∴f(x)是奇函数.
(2）要证f(x+4a)=f(x),可先计算f(x+a),f(x+2a).
∵f(x+a)=f［x-(-a)］= 

∴f(x+4a)=f［(x+2a)+2a］==f(x),
故f(x)是以4a为周期的周期函数.