题目

已知函数是偶函数．
（1）求k的值
（2）若函数y=f（x）的图象与直线没有交点，求实数b的取值范围．

答案

解：（1）因为y=f（x）为偶函数，
所以x∈R，f（﹣x）=f（﹣x），
即log₉（9﹣x+1）﹣kx=log₉（9x+1）+kx对于x∈R恒成立．
即 恒成立
∴（2k+1）x=0恒成立，
∵x不恒为零，
∴ ．
（2）由题意知方程 ，即方程log₉（9x+1）﹣x=b无解．
令g（x）=log₉（9x+1）﹣x，
则函数y=g（x）的图象与直线y=b无交点．
因为 
任取x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，
则 ，从而 ．
于是 ，即g（x₁）＞g（x₂），
所以g（x）在（﹣∞，+∞）是单调减函数．
因为 ，所以 ．
所以b的取值范围是（﹣∞，0]．

解析