题目

（本小题满分12分）定义在实数R上的函数y= f（x）是偶函数，当x≥0时，.
（Ⅰ）求f（x）在R上的表达式；
（Ⅱ）求y=f（x）的最大值，并写出f（x）在R上的单调区间（不必证明）.

答案

（Ⅰ）；（Ⅱ）最大值1，单调递增区间是（-∞，-1和[0，1] ，单调递减区间是 [-1，0]和[1，+∞。
单调递减区间是 [-1，0]和[1，+∞

解析

试题分析：解：（Ⅰ）设x＜0，则- x＞0，
∵f（x）是偶函数，∴f（-x）=f（x） …………… 3
∴x＜0时，
所以……………6
（Ⅱ）y=f（x）开口向下，所以y=f（x）有最大值f（1）=f（-1）=1
函数y=f（x）的单调递增区间是（-∞，-1和[0，1] …………… 9
单调递减区间是 [-1，0]和[1，+∞ ……………12
点评：利用函数的奇偶性求函数的解析式，这类问题的一般做法是： ①“求谁设谁”即求哪个区间上的解析式，x就设在哪个区间内； ②要利用已知区间的解析式进行代入； ③利用f(x)的奇偶性写出-f(x)或f(-x)从而解出f(x)。