题目

(本小题满分12分)
已知二次函数，，的最小值为．
⑴ 求函数的解析式；
⑵ 设，若在上是减函数，求实数的取值范围；

答案

⑴  . ⑵．

解析

本试题主要是考查了二次函数的 解析式的求解，以及二次函数的最值的求解的综合运用。
（1）根据题意设， ∵ 的最小值为，∴ ，且，  ∴ ，得到解析式。
（2）因为，那么对属于参数m进行分类讨论，得到单调性，求解参数的范围。
解：⑴ 由题意设，
∵ 的最小值为，
∴ ，且，  ∴ ，
 . 
⑵ ∵ ，
①当时，在[-1, 1]上是减函数，
符合题意.
② 当时，对称轴方程为：，
ⅰ）当，即 时，二次函数的图象开口向上，
由，得  ， ∴ ；
ⅱ）当， 即 时，二次函数的图象开口向下，
由，得 ， ∴.
综上知，实数的取值范围为．