题目

（），其中，将的最小值记为，
（1）求的表达式；
（2）当时，要使关于的方程有且仅有一个实根，求实数的取值范围．

答案

（1）；（2）.

解析

(1)先化简f(x),则,然后根据二次函数的性质讨论t的范围，进而确定.
(2) 当时，，方程 即：
 即方程 在区间有且仅有一个实根.这是解决此问题的关键，下面转化为二次函数根的分布问题来解决即可.
解：（1）由已知有：

由于，∴ ………………………3分
∴ 当 时，则当时，；
当 时，则当时，；
当 时，则当时，；
综上，  …………………7分
（2）当 时，，方程 即：
 即方程 在区间有且仅有一个实根，8分
令 ，则有：
解法1：①若
 
∴ ……10分
② 或
综上，当时，关于的方程在区间有且仅
有一个实根． ……………………………………14分
解法2：由．