题目

（本小题满分12分）
设M是由满足下列条件的函数构成的集合：“①方程有实数根；②函数”
（I）判断函数是否是集合M中的元素，并说明理由；
（II）集合M中的元素具有下面的性质：若 的定义域为D，则对于任意成立。试用这一性质证明：方程只有一个实数根；
（III）对于M中的函数 的实数根，求证：对于定义域中任意的当且

答案

（1）因为
所以
又因为当，所以方程有实数根0，
所以函数是集合M中的元素。…………4分
（2）假设方程存在两个实数根，
则…………5分
不妨设，根据题意存在数，
使得等式成立， …………7分
因为
与已知只有一个实数根；
…………9分
（3）不妨设为增函数，
所以
又因为为减函数，…………10分
所以 …………11分
所以，
即
所以
…………12分

解析

略