题目

（本小题满分13分）已知且，
（1）判断函数的奇偶性；
(2) 判断函数的单调性，并证明；
（3）当函数的定义域为时,求使成立的实数的取值范围.

答案

（1）为奇函数；（2）当且时，在上是增函数；（3）。

解析

本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．
（I）先求得f（x），令x=y=0，有f（0）=0，再令x₁=x，x₂=-x，即f（-x）=-f（x），故f（x）为奇函数．
（II）在R上任取x₁＜x₂，则x₁-x₂＜0，再比较f（x₁）和f（x₂）的大小，从而得出：f（x）是增函数；
（III）由得，结合上一问单调性得到求解。
解：（1）函数的定义域是,关于原点对称
又，为奇函数……………4分
（2）函数在上为增函数
设,且，
则
当时，，，
当时，，，
当且时，在上是增函数……………9分
解法2：，当时，，，当时，， 
当且时，在上是增函数……………9分
（3）由得，
 ，……………10分……………11分
解得……………13分