题目

（本小题满分14分）已知函数.
（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求函数的单调区间；
（Ⅱ）若对于都有成立，试求的取值范围；
（Ⅲ）记.当时，函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围.

答案

（Ⅰ）f(x)的单调增区间是单调减区间是
（Ⅱ）
（Ⅲ）

解析

（I） 直线y=x+2的斜率为1.函数f(x)的定义域为，，所以，所以a=1．所以．.由解得x>2；由解得0<x<2.
所以f(x)的单调增区间是单调减区间是．  ……………………4分
（II），由解得；由解得0<x<2/a.
所以f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减所以当时，函数f(x)取得最小值，.因为对于都有f(x)>2(a-1)成立，所以即可.则．由． 所以a的范围是.8分
（III）依题得，则.由解得x>1；由解得0<x<1所以函数g(x0)在区间(0,1)为减函数，在区间为增函数．
又因为函数g(x)在区间[e^-1,e]上有两个零点，所以
解得.所以b的取值范围是．  …………12分