题目

定义在R上的函数满足对任意实数，总有，且当时，.
(1)试求的值；
(2)判断的单调性并证明你的结论；
(3)设，若，试确定的取值范围.

答案

（1）在中，令．得：．
因为，所以，．
（2）要判断的单调性，可任取，且设．
在已知条件中，若取，则已知条件可化为：．由于，所以．
为比较的大小，只需考虑的正负即可．
在中，令，，则得．
∵ 时，，
∴ 当时，．
又，所以，综上，可知，对于任意，均有．
∴ ．
∴ 函数在R上单调递减．
（3）首先利用的单调性，将有关函数值的不等式转化为不含的式子．
，
，即．
由，所以，直线与圆面无公共点．
所以．解得：．

解析

略