题目

（本小题满分14分）
已知定义域为[0, 1]的函数f（x）同时满足：
①对于任意的x[0, 1]，总有f（x）≥0;
②f（1）＝1; 
③若0≤x₁≤1, 0≤x₂≤1, x₁＋x₂≤1, 则有f（x₁＋x₂） ≥ f（x₁）＋f（x₂）．
（1）试求f（0）的值;
（2）试求函数f（x）的最大值；
（3）试证明：当x, nN_＋时，f（x）<2x．

答案

（1）f（0）＝0
（2）f（x）取最大值1．
（3）略

解析

（1）令x₁＝x₂＝0,依条件（3）可得f（0＋0）≥2f（0）,即f（0）≤0
又由条件（1）得f（0）≥0 故f（0）＝0…………3分
（2）任取0≤x₁<x₂≤1可知x₂－x₁（0,1],则
f（x₂）＝f[（x₂－x₁）＋x₁]≥f（x₂－x₁）＋f（x₁）≥f（x₁）
于是当0≤x≤1时,有f（x）≤f（1）＝1因此当x＝1时,f（x）取最大值1．…………8分
（3）证明：先用数学归纳法证明:当x（nN_＋）时,f（x）≤
1⁰当n＝1时,x，f（x）≤f（1）＝1＝,不等式成立．
当n＝2时,x,<2x≤1,f（2x）≤1,f（2x）≥f（x）＋f（x）＝2f（x）
∴f（x）≤f（2x）≤ 不等式成立．
2⁰假设当n＝k（kN_＋,k≥2）时,不等式成立,即x时，f（x）≤
则当n＝k＋1时,x,记t＝2x，则t＝2x, ∴f（t）≤
而f（t）＝f（2x）≥2f（x），∴f（x）≤f（2x）＝f（t）≤
因此当n＝k＋1时不等式也成立．
由1⁰,2⁰知,当x（nN_＋）时,f（x）≤
又当x（nN_＋）时,2x>, 此时f（x）<2x．
综上所述：当x（nN_＋）时,有f（x）<2x． ………… 14分