题目

已知函数（）.
（1）当a = 0时, 求函数的单调递增区间;
（2）若函数在区间[0, 2]上的最大值为2, 求a的取值范围.

答案

, .

解析

（1）: 当a = 0时, f （x）＝x³－4x²＋5x ,
>0,
所以f （x）的单调递增区间为, . 
（2）解: 一方面由题意, 得
 即;
另一方面当时,
f （x） = （－2x³＋9x²－12x＋4）a＋x³－4x²＋5x ,
令g（a） = （－2x³＋9x²－12x＋4）a＋x³－4x²＋5x, 则
g（a）≤ max{ g（0）, g（） }
= max{x³－4x²＋5x , （－2x³＋9x²－12x＋4）＋x³－4x²＋5x }
= max{x³－4x²＋5x , x²－x＋2 },
f （x） = g（a）
≤ max{x³－4x²＋5x , x²－x＋2 },
又{x³－4x²＋5x}="2," {x²－x＋2}="2," 且f （2）＝2,
所以当时, f （x）在区间[0,2]上的最大值是2.
综上, 所求a的取值范围是.