题目

根据函数单调性的定义，证明函数f (x)=－x³+1在(－∞，+∞)上是减函数．

答案

证明见解析．

解析

本小题考查函数单调性的概念，不等式的证明，以及逻辑推理能力．满分10分．
证法一：在(－∞，+∞)上任取x₁，x₂且x₁<x₂ ——1分
则f (x₂) －f (x₁) == (x₁－x₂) ()——3分
∵ x₁<x₂，∴ x₁－x₂<0． ——4分
当x₁x₂<0时，有= (x₁+x₂) ²－x₁x₂>0； ——6分
当x₁x₂≥0时，有>0；
∴f (x₂)－f (x₁)= (x₁－x₂)()<0． ——8分
即 f (x₂) < f (x₁)，所以，函数f(x)=－x₃+1在(－∞，+∞)上是减函数． ——10分
证法二：在(－∞，+∞)上任取x₁，x₂，且x₁<x₂，——1分
则f (x₂)－f (x₁)=x－x= (x₁－x₂) ()．——3分
∵x₁<x₂，∴x₁－x₂<0．——4分
∵x₁，x₂不同时为零，∴x＋x>0．
又∵x＋x>(x＋x)≥|x₁x₂|≥－x₁x_2。∴>0，
∴ f (x₂)－f (x₁) = (x₁－x₂) ()<0． ——8分
即f (x₂) < f (x₁)．所以，函数f (x)=－x³+1在(－∞，+∞)上是减函数． ——10分