设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞b＞c

难度：一般 题型：解答题 来源：不详

题目

设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞b＞c），已知f（1）=0，且存在实数m，使f（m）=-a．
（1）试推断f（x）在区间[0，+∞）上是否为单调函数，并说明你的理由；
（2）设g（x）=f（x）+bx，对于x1，x2∈R，且x1≠x2，若g（x1）=g（x2）=0，求|x1-x2|的取值范围；
（3）求证：f（m+3）＞0．

答案

（1）∵存在实数m，使f（m）=-a．
∴方程ax2+bx+c+a=0有实根⇒△=b2-4a（a+c）≥0…（*）

∵f(1)=0
，
∴a+b+c=0，结合a＞b＞c得a＞0，c＜0
再将a+c=-b代入不等式（*），得
b2-4a•（-b）=b（b+4a）≥0，
∵b+4a=-（a+c）+4a=3a-c＞0
∴b≥0.
可得二次函数f（x）=ax2+bx+c图象开口向上，且关于直线x=-
b
2a
对称
∵-
b
2a
＜0，f（x）在[-
b
2a
，+∞）上是增函数．
∴f（x）在区间[0，+∞）上是增函数…（3分）
（2）根据题意，得x1，x2是方程g（x）=0即ax2+2bx+c=0的两实根．
根据根与系数的关系得：

解析

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