题目

已知函数f（x）的定义域为[0，1]，且同时满足①f（1）=3；②f（x）≥2恒成立，③若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，则有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）-2．
（1）试求函数f（x）的最大值和最小值；
（2）试比较f（

1

2n

）与

1

2n

+2（n∈N）的大小．

答案

（1）设0≤x₁＜x₂≤1，则必存在实数t∈（0，1），使得x₂=x₁+t，
由条件③得，f（x₂）=f（x₁+t）≥f（x₁）+f（t）-2，
∴f（x₂）-f（x₁）≥f（t）-2，
由条件②得，f（x₂）-f（x₁）≥0，
故当0≤x≤1时，有f（0）≤f（x）≤f（1）．
又在条件③中，令x₁=0，x₂=1，得f（1）≥f（1）+f（0）-2，
即f（0）≤2，∴f（0）=2，
故函数f（x）的最大值为3，最小值为2．
（2）在条件③中，令x1=x2=

1

2n

，得f(

1

2n-1

)≥2f(

1

2n

)-2，
即f(

1

2n

)-2≤

1

2

[f(

1

2n-1

)-2]，
故当n∈N*时，有f(

1

2n

)-2≤

1

2

[f(

1

2n-1

)-2]≤

1

22

[f(

1

2n-2

)-2]≤…≤

1

2n

[f(

1

20

)-2]=

1

2n

，
即f(

1

2n

)≤

1

2n

+2．
又f(

1

20

)=f(1)=3≤

1

20

+2，
所以对一切n∈N，都有f(

1

2n

)≤

1

2n

+2．

解析