题目

设函数f（x）的定义域是R，对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）·f（n），且当x＞0时，0＜f（x）＜1，
（1）求证：f（0）=1，且当x＜0时，有f（x）＞1；
（2）判断f（x）在R上的单调性。

答案

（1）证明：∵f（m+n）=f（m）f（n），
令m=1，n=0，则f（1）=f（1）f（0），
且由x＞0时，0＜f（x）＜1，
所以f（0）=1；
设m=x=0，n=-x＞0，
∴，
∴；
（2）解：，则时，
∴，
∴
，
∴f（x）在R上单调递减。

解析