题目

某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？
（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=）

答案

解：设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，
则(x≥10，x∈Z₊)，
令，
下面证明g(x)在[10，+∞]的单调性，
在定义域内任取x₁＜x₂，则有


，
而存在①和②两种可能，
∴在同一区间，x₁，x₂的值可以非常接近，且都靠近15时，x₁，x₂的值就非常靠近225了，
反之，如果x₁，x₂的值分布在15的两侧，则x₁x₂的值就会出现不确定的结果，即有些大于15，有些小于15，可以而且必须在15划分单调区间；
故当x₁＜x₂=15 时，函数单调递减，
当15＜x₁＜x₂时，函数是增函数，
故g(x)在[10，15]上递减，在[15，+∞]上递增，
所以函数在[10，+∞]的最小值是在x=15处取得，即f(15)=2000，
答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层。

解析