题目

已知f(x)是定义在R上的增函数，设F(x)=f(x)-f(a-x)，用函数单调性定义证明F(x)是R上的增函数。

答案

证明：任取x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，
则F(x₁)-F(x₂)=[f(x₁)-f(-a-x₁)]-[f(x₂)-f(a-x₂)]=[f(x₁)-f(x₂)]+[f(a-x₂)-f(a-x₁)]，
由x₁＜x₂，得a-x₂＜a-x₁，
由f(x)是R上的增函数，得f(x₁)＜f(x₂)，f(a-x₂)＜f(a-x₁)，
∴F(x₁)-F(x₂)＜0，即F(x₁)＜F(x₂)，
故F(x)是R上的增函数.

解析