题目

已知定义在R上的单调递增函数满足,且。
（Ⅰ）判断函数的奇偶性并证明之；
（Ⅱ）解关于的不等式：；
（Ⅲ）设集合,.，若集合有且仅有一个元素，求证: 。

答案

（Ⅰ）函数为R上的奇函数,（Ⅱ）,（Ⅲ）见解析

解析

试题分析：（Ⅰ）抽象函数奇偶性的证明，先令，再令可求得出函数为奇函数,（Ⅱ）由（Ⅰ）知在上为奇函数，则利用单调性及与-1的关系可解得； （Ⅲ）先对进行化简，再利用两方程有唯一解求证.
试题解析：（Ⅰ）令,
令,,
函数为R上的奇函数.  （4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
又函数是单调递增函数,
故 （8分）
（Ⅲ）


,又有且仅有一个元素,即方程组有唯一解,
即仅有一个实根, ,即 （13分）