题目

设函数y=f（x）（x∈R且x≠0）对任意非零实数x₁，x₂恒有f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂），且对任意x＞1，
f（x）＜0。
（Ⅰ）求f（-1）及f（1）的值；
（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性；
（Ⅲ）求方程的解。

答案

解：（Ⅰ）对任意非零实数恒有，
∴令，代入可得，
又令，代入并利用，可得。
（Ⅱ）取，代入，得，
又函数的定义域为，
∴函数是偶函数。
（Ⅲ）函数f（x）在（0，+∞）上为单调递增函数，证明如下：
任取且，则，由题设有，
∴，
∴，即函数f（x）在上为单调递增函数；
由（Ⅱ）函数f（x）是偶函数，
∴函数f（x）在上为单调递减函数；
∴，
解得：或x=2，
∴方程的解集为。

解析