题目

（本题满分12分）
设函数且对任意非零实数恒有，且对任意．  
（Ⅰ）求及的值；   
（Ⅱ）判断函数的奇偶性;
（Ⅲ）求方程的解.

答案

（Ⅰ），
（Ⅱ）函数是偶函数.
（Ⅲ）方程的解集为.

解析

解：（Ⅰ）对任意非零实数恒有，
令代入可得，┈┈ 1分
又令，代入并利用，可得.┈┈ 1分
（Ⅱ）取，代入得，又函数定义域为，
函数是偶函数. ┈┈ 2分
（Ⅲ）函数在上为单调递增函数，证明如下：
任取且，则，由题设有，
，
，即函数在上为单调递增函数；┈┈ 4分
由（Ⅱ）函数是偶函数，函数在上为单调递减函数；┈┈ 1分

解得或，┈┈ 2分
方程的解集为.┈┈ 1分