题目

已知函数。
（1）求证：不论a为何实数f（x）总是为增函数；
（2）确定a的值，使f（x）为奇函数；
（3）当f（x）为奇函数时，求f（x）的值域。

答案

解：（1）∵f（x）的定义域为R，设x₁＜x₂
则=，
∵x₁＜x₂，
∴，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
即f（x₁）＜f（x₂），所以不论a为何实数f（x）总为增函数。
（2）∵f（x）为奇函数，
∴f（-x）=-f（x），即，
解得：．
∴。
（3）由（2）知，
∵2^x+1＞1
∴
∴，
∴
所以f（x）的值域为。

解析