题目

已知：函数。
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）若关于x的方程kf（x）=1恰有三个不同的根，求实数k的取值范围。

答案

解：f（x）定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）
（1）当x>0时，-x ＜0，
∵f（x）=xlnx，f（-x）=-xlnx，
∴f（-x）=- f（x），
当x＜0时，-x >0，
∵f（x）= xln（-x），f（-x）=-xln（-x），
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）是奇函数。
（2）当x>0时，f（x）=xlnx，
令f"（x）＜0，得
∴当时，f（x）为减函数
令f"（x）>0，得
∴当时，f（x）为增函数
又f（x）为奇函数，
∴当时，f（x）为减函数，
当时，f（x）为增函数
∴f（x）的单调减区间为和
单调增区间为和。
（3）原方程等价于，结合f（x）的图象变化，由（2）知，
时f（x）由0递减到
时f（x）由递增到+∞
x∈时f（x）由-∞递增到
时f（x）由递减到0
∵方程恰有3个不同的根，
∴f（x）的图象与的图象应有3个不同的交点，
∴或
∴k＜-e或k>e。

解析