题目

本小题满分10分
已知二次函数（其中）.
(1)若函数为偶函数，求的值；
(2)当为偶函数时，若函数，指出在上单调性情况，并证明之.

答案

（1） ；（2）见解析。

解析

本试题主要是考查了二次函数的奇偶性和函数的单调性的运用。
（1）为偶函数，即对任意， 
即，即对任意恒成立，得到a的值为零。
（2）由（1），若为偶函数，则，
当时，在上单调递减，在上单调递增，然后结合定义法证明。
解：（1）为偶函数，即对任意，……………2分
即，即对任意恒成立……………3分
 ……………4分
（2）由（1），若为偶函数，则，
当时，在上单调递减，在上单调递增，证明如下：……………5分
设任意，且
 ……………7分
，且，，即
，即即
在上单调递减 ……………9分
同理，可得在上单调递增 ……………10分