题目

已知，(且)．
（1）过作曲线的切线，求切线方程；
（2）设在定义域上为减函数，且其导函数存在零点，求实数的值．

答案

(1)∵f(0)＝0，∴P(0,2)不在曲线y＝f(x)上，
设切点为Q(x₀，y₀)，∵f′(x)＝2－x，
∴k＝f′(x₀)＝2－x₀，且y₀＝f(x₀)＝2x₀－，
∴切线方程为y－2x₀＋＝(2－x₀)(x－x₀)，即y＝(2－x₀)x＋， ……3分
∵(0,2)在切线上，代入可得x₀＝±2，……………………………5分
∴切线方程为y＝2或y＝4x＋2. …………………………………7分
(2)h(x)＝2x－x²－log_ax在(0，＋∞)上递减，
∴h′(x)＝2－x－≤0在(0，＋∞)上恒成立，
∵x>0，∴≥2x－x²在(0，＋∞)上恒成立．
又2x－x²∈(－∞，1]，∴≥1，∴0<lna≤1，①…………………10分
又∵h′(x)＝2－x－存在零点，
即方程lna·x²－2lna·x＋1＝0有正根，
∴Δ＝4ln²a－4lna≥0，∴lna≥1或lna<0，②…………………12分
由①②知lna＝1，∴a＝e.

解析

略