题目

（本小题共14分）函数，，.
（1）①试用含有的式子表示；②求的单调区间；
（2）对于函数图像上的不同两点，，如果在函数图像上存在点（其中在与之间），使得点处的切线∥，则称存在“伴随切线”，当时，又称存在“中值伴随切线”。试问：在函数的图像上是否存在两点、，使得存在“中值伴随切线”？若存在，求出、的坐标；若不存在，说明理由。

答案

（1），增区间为，减区间为
（2）不存在

解析

解：（1）① ∵ ∴ . （2分）
② ∵， ∴当时，
当时， 
∴增区间为，减区间为
（2）不存在（7分） （反证法）
若存在两点，，不妨设，则
曲线在的切线斜率
又
∴由得① 
法一：令 

∴在上为增函数 
又 ∴与①矛盾
∴不存在 （16分）
法二：令，则①化为 ②
令 ∵
∴在为增函数
又∴此与②矛盾，∴不存在