题目

（满分12分）
已知函数f ( x )=x ²+ax+b
（1）若f (x)在[ 1，+∞)内递增，求实数a的范围。
（2）若对任意的实数x都有f (1+x)="f" (1－x) 成立，
①求实数 a的值；
②证明函数f(x)在区间[1，＋∞上是增函数.

答案

① a＝－2②略

解析

解：（1）a ≥－2
(2)由f(1+x)=f(1－x)得，
(1＋x)²＋a(1＋x)＋b＝(1－x)²＋a(1－x)＋b，即：(a＋2)x＝0，
由于对任意的x都成立，∴ a＝－2.
可知 f (x)=x ²－2x+b，下面证明函数f(x)在区间[1，＋∞上是增函数.设，
则＝（）－（）
＝（）－2（）＝（）（－2）
∵，则＞0，且－2＞2－2＝0，
∴ ＞0，即，故函数f(x)在区间[1，＋∞上是增函数.
法2：可用导数证明