题目

已知，函数
（1）求的极小值；
（2）若在上为单调增函数，求的取值范围；
（3）设，若在（是自然对数的底数）上至少存在一个，使得成立，求的取值范围．

答案

（1）．（2） 的取值范围是．
（3）要在上存在一个，使得，必须且只需．

解析

试题分析：（1）由题意，，，∴当时，；当时，，所以，在上是减函数，在上是增函数，故．  4分
（2） ，，由于在内为单调增函数，所以在上恒成立，即在上恒成立，故，所以的取值范围是． 9分
（3）构造函数，
当时，由得，，，所以在上不存在一个，使得．
当时，，因为，所以，，所以在上恒成立，故在上单调递增，，所以要在上存在一个，使得，必须且只需，解得，故的取值范围是．
另法:（Ⅲ）当时，．
当时，由，得 ， 令，则，所以在上递减，．
综上，要在上存在一个，使得，必须且只需．
点评：难题，本题属于导数应用中的基本问题，通过研究函数的单调性，明确了极值情况。通过研究函数的单调区间、极值，最终确定最值情况。涉及恒成立问题，往往通过构造函数，研究函数的最值，得到解题目的。